Projektionen
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Auf den ersten Blick erscheint es ausreichend, sich bei der Arbeit
mit Geodaten auf das geographische Koordinatensystem zu beschränken.
Immerhin lässt sich damit die Lage jedes Punktes auf der Erdoberfläche
eindeutig beschreiben. Bei näherer Betrachtung wird jedoch deutlich,
dass man um die Thematik der kartographischen Projektion nicht herumkommt: Aus obenstehendem Kurzvideo wird deutlich, dass bei jeder Projektion Abstriche hinsichtlich der "Originaltreue" gemacht werden müssen, wobei je nach Verwendungszweck der Darstellung bzw. Lage und Größe des Untersuchungsgebietes einzelne Projektionen stark unterschiedliche Eignungen aufweisen. Das Wissen über gängige Projektionen und deren Eignung zählt zu den zentralen Voraussetzungen bei der Arbeit mit GIS. In diesem Kapitel werden folgende Themen behandelt: 3.1 Typisierung von Projektionen |
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Nach Bearbeitung dieser Lektion ... |
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3.1 Typisierung von ProjektionenIm Laufe der Zeit wurden unterschiedliche Methoden entwickelt, um Koordinatensysteme der gekrümmten Erdoberfläche in die Ebene zu transformieren. Vereinfachend kann man sich viele dieser Transformationen als ein, an eine Projektionsfläche projiziertes Bild vorstellen, welches bei der Durchleuchtung einer "gläsernen Erde" entstehen würde. So gesehen ist der Begriff der "Projektion" unmittelbar "einleuchtend". Schalten Sie doch mal das Licht ein! Auch wenn das gedankliche Modell einer "durchleuchteten Erde" für das konzeptionelle Verständnis gute Dienste leistet, handelt es sich bei Kartenprojektionen immer um mathematische Algorithmen, mit denen eine Umrechnung von geographischen in planare Koordinaten erfolgt. Anders als in der Darstellung oben entspricht die Projektionsfläche häufig keiner Ebene, sondern wird in Form eines Zylinders oder Kegels um die Erde "herumgewickelt". In Analogie zum dabei entstehenden geometrischen Körper lassen sich Projektionen in vier große "Familien" gliedern: |
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AzimutalprojektionenBei azimutalen Abbildungen wird das Gradnetz der Erde auf eine Ebene
übertragen, die normalerweise dem Nord- oder Südpol als
Tangentialebene anliegt. Das sich bei Berührung im Pol ergebende Gradnetzbild zeigt konzentrische Breitenkreise und sternförmig vom Zentrum
ausgehende Meridiane. Die von den Längenkreisen eingeschlossenen
Winkel (Azimut) des Abbilds sind mit denen des Originals (Erdkörper)
identisch. Wissenschaftler um den Astrophysiker Richard Gott entwickelten diese zweiseitige Azimutalprojektion (Bericht: SZ 12. März 2021) |
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Zylinderprojektionen Dabei handelt es sich um Projektionen in einen Zylindermantel, der
anschließend zu einer Ebene "abgerollt" wird. In seiner normalen
Lage berührt der Zylinder die Erde am Äquator. In diesem
Fall ergibt das Bild der projizierten Längen-
und Breitenkreise jeweils parallele Linien, die sich im rechten
Winkel schneiden. |
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KegelprojektionenKonische Abbildungen lassen sich durch einen über die Erde gestülpten
Kegel veranschaulichen, der von seiner Spitze zum Rand hin aufgeschnitten
und ausgebreitet wird. Das Bild der Gradnetzlinien zeigt zur Kegelspitze hin konvergierende Meridiane und gekrümmte Breitenkreise.
Alle Linien schneiden sich - wie bei den azimutalen und zylindrischen
Abbildungen - im rechten Winkel. |
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Unechte ProjektionenUnechte Projekionen sind mit der Analogie der durchleuchteten Erde" nur unzureichend beschreibbar, da sie sich auf keine reguläre geometrische Abbildungsfläche beziehen. Sie werden vor allem für Planisphären, also planare Abbildungen der gesamten Erde verwendet. Nachdem sich die meisten GIS-Anwendungen in größeren Maßstabsbereichen bewegen, spielen sie im Kontext von GIS eine untergeordnete Rolle. Innerhalb dieser Projektionsfamilien lassen sich Projektionen noch nach einigen weiteren Kriterien kategorisieren, nämliche nach der Projektionslage, der Frage, ob der Projektionskörper die Erde schneidet oder berührt und nach der Abbildungsart. ProjektionslageDie Abbildungsqualität einer Projektion ist dort am höchsten,
wo die Projektionsfläche die Erde berührt. So bildet eine Azimutalprojektion,
die die Erde am Nordpol berührt, polnahe Gebiete wesentlich besser
ab als äquatoriale Bereiche. Demgegenüber bewährt sich
eine Zylinderprojektion, die den Äquator berührt, besser für
äquatoriale als für polare Gebiete.
Daneben werden bei Azimutalprojektionen noch die Begriffe der polaren und der äquatorialen Lage verwendet, wobei die polare der normalen und die äquatoriale der transversalen Lage entspricht. Natürlich ändert sich mit der Veränderung der Lage auch das abgebildete Gradnetz ganz beträchtlich.
Projektionsfläche:
Zylinder Kegel Azimutal
Lage:
Normal Schief Transversal |
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Schneidende Projektionen |
Berührung vs. SchnittEin weiteres Unterscheidungsmerkmal "echter"
Projektionen liegt darin, ob die Projektionsfläche den Erdkörper
berührt (tangent case) oder schneidet (secant case).
Originaltreue
Direkt an den Schnittkreisen ist die geometrische Qualität optimal, sie nimmt jedoch zur Mitte und zu den Rändern hin ab. Mit schneidenden Projektionskörpern gelingt es, die Größe des darstellbaren Gebietes bei gleichbleibender Darstellungsqualität zu verdoppeln (im Vergleich zu einer berührenden Projektion). |
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Abbildungsart Selbst bei gleicher Projektionsfamilie und Lage können die entstehenden
Kartennetzentwürfe sehr unterschiedlich ausfallen, da das Gradnetz
der Erde auf verschiedene Art und Weise auf die Projektionsfläche
"aufgetragen" werden kann. Somit lässt sich "Abbildungsart"
als projektionsspezifischer "Strahlengang" verstehen, nach
dem die Erde "durchleuchtet" wird.
Achtung: Die Analogie zur unterschiedlich positionierten Lichtquelle trifft zwar auf das dargestellte Beispiel (echt perspektivische Projektionen) zu, bei vielen anderen Projektionen ist es in dieser Form aber nicht gültig. Um den zugrundeliegenden mathematischen Algorithmen solcher Projektionen gerecht zu werden, müsste man im Denkmodell der "durchleuchteten Erde" auch "gekrümmte" Projektionsstrahlen zulassen. |
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3.2 Parametrisierung von ProjektionenMit jeder Georeferenzierungs-Komponente von GI-Software lassen sich die Eigenschaften von Projektionen parametrisieren. Hierbei ist zu beachten, ob wir nur das Bild der Geodaten "on-the-fly" oder aber den Datensatz dauerhaft verändern wollen. In diesem Abschnitt soll eine kurze Übersicht über die wichtigsten Fachtermini im Zusammenhang mit Projektionseinstellungen gegeben werden: |
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Projektion (Robinson) mit Bezugsmeridian 0° östl. von Greenwich. |
Bezugsmeridian (Central Meridian, Longitude of Origin)Der geographische Längenkreis, auf den sich der Ursprung der Projektion bezieht, wird im Englischen als Central Meridian oder Longitude of Origin bezeichnet. Im resultierenden Kartennetzentwurf liegt dieser Meridian in der Blattmitte. Der Projektionsursprung ist auch der Bezugspunkt bei der Angabe von x und y-Koordinaten in der Projektion. |
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Projektion (Orthographisch) mit der Ursprungsbreite 45°. |
Ursprungsbreite (Reference Latitude, Latitude of Origin)Darunter versteht man die geographische Breite des Ursprungs der Projektion.
Außer bei Azimutalprojektionen bewirkt eine Veränderung dieses
Wertes keine Veränderung im Kartenbild, lediglich der Bezugspunkt
(Koordinatenursprung) der y-Koordinatenangabe ändert sich entsprechend. |
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Schnittkreise (Standard Parallel, Latitude of True Scale)Geographische Breite eines Schnitt- oder Berührkreises bei Kegel- oder Zylinderprojektionen in normaler Lage. Bei Definition einer schneidenden Kegelprojektion verläuft der Teil des Kegels zwischen den beiden Schnittkreisen "unter" der Erde. Zur Parametrisierung eines berührenden Kegels setzt man für Standard Parallel 1 und Standard Parallel 2 einfach dieselbe geographische Breite ein. Bei Zylinderprojektionen in normaler Lage wird der Schnittkreis (nördl. und südl. Breite sind ident, daher gibt es nur einen Standard Parallel) auch als Latitude of True Scale bezeichnet. Dieser Begriff rührt daher, dass sich die Maßstabsangabe auf die Schnittkreise bezieht. Zwischen den Schnittkreisen ist der Maßstab in Ost-West Richtung kleiner, gegen die Zylinderränder hin nimmt er zu. |
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Verkürzungsfaktor (Scale Factor)Der Verkürzungsfaktor drückt bei einer transversalen Zylinderprojektion das Verhältnis der
Länge des halben Zylinderumfangs zur Länge des Bezugsmeridians aus.
Ist der Wert 1, sind der halbe Zylinderumfang und die Länge des
Bezugsmeridians gleich lang: der Zylindermantel berührt die Erdoberfläche
am Bezugsmeridian. Bei einem Scale Factor unter 1 entsteht durch die Verkürzung des
Zylinderumfangs im Verhältnis zum Erdumfangs ein Schnittzylinder. |
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False Easting bzw. False Northing (False X / False Y)Dabei handelt es sich um Konstanten, die bei kartesischen Koordinatensystemen zum Rechts- bzw. Hochwert addiert werden. um die Koordinatenwerte für einen bestimmten Bereich innerhalb einer Projektion möglichst übersichtlich zu gestalten. |
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Das Koordinatensystem des österreichischen Koordinatensystems "Bundesmeldenetz" (BMN) hat seinen Ursprung am Schnittpunkt des jeweiligen Mittelmeridians mit dem Äquator, d.h. der Hochwert (y) entspricht dem Abstand eines Punktes vom Äquator. Innerhalb Österreichs treten y-Werte zwischen ca. 5130000 und 5430000 Meter auf. Um bei Koordinatenangaben (Schreib)Arbeit zu sparen gibt man einen False Northing Wert von -5000000 an, d.h. man subtrahiert von jeder y-Koordinate 5000000 Meter um bei Koordinatenangaben kleinere Zahlenwerte zu bekommen. |
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3.3 ProjektionseigenschaftenWie wir bereits im "Orangenvideo" gesehen haben, sind geometrische Verzerrungen bei der Verebnung sphärischer Oberflächen unvermeidlich. Verschiedene Projektionen zeichnen sich nun dadurch aus, dass sie einzelne geometrische Eigenschaften "originalgetreu" wiedergeben können, was jedoch immer auf Kosten anderer geometrischer Eigenschaften geht. Stimmen beispielsweise die Größenproportionen von Flächen in der Karte mit denen in der Natur überein, so kommt es "im Ausgleich dazu" zu Deformationen bei der Flächenform. |
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Da keine einzige Projektion alle geometrischen Eigenschaften erhalten kann (beim Erhalt einer Eigenschaft spricht man auch von "Treue"), richtet sich die Wahl einer geeigneten Projektion danach, welche geometrischen Eigenschaften im speziellen Anwendungsfall besonders relevant sind. Die Auswahl einer Projektion stellt also immer einen Kompromiss dar, wobei die Abwägung zwischen zu erhaltenden Eigenschaften umso wichtiger wird, je weiter man sich von Schnitt- bzw. Berührkreisen entfernt, d.h. je größer das darzustellende Gebiet ist. |
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Projektionen können folgende geometrische Eigenschaften aufweisen:
Im folgenden werden wir uns im Einzelnen mit diesen Projektionseigenschaften beschäftigen. Im Zuge dessen lernen Sie (z.T. optional) auch einige gängige Projektionen näher kennen. |
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Längentreue"Wenn du die Entfernung zwischen zwei Punkten bestimmen willst,
dann nimm die Karte und ein Lineal zur Hand und multipliziere das Messergebnis
mit dem Maßstabsfaktor der Karte..." |
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Die
Distanz zwischen den Punkten A und C sowie zwischen C und D beträgt
jeweils ca. 10.000 Kilometer. |
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Generell ist es unmöglich eine Karte zu erstellen, die in allen Richtungen und zwischen allen Punkten längentreu ist. Daher spricht man anstatt von "Längentreue" besser von "partieller Längentreue". Längentreue AzimutalprojektionLängentreue
Zylinderprojektion
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Karten können lügen: |
FlächentreueFlächentreue, also die Bewahrung der erdräumlichen Flächenproportionen über das gesamte Kartenblatt hinweg, wird bei der Darstellung mittel- und kleinmaßstäbiger Sachverhalte am häufigsten benötigt. Flächentreue ist immer dann wichtig, wenn das Hauptaugenmerk der Kartenaussage auf den Größenverhältnissen von Flächenobjekten liegt. Das trifft vor allem bei Karten zu, welche die flächige Verteilung von Attributen (z.B. Landnutzung, Niederschlagsverteilung, Bevölkerungsdichte) kommunizieren sollen. In solchen Fällen führt die Wahl einer ungeeigneten Projektion unter Umständen zu einer völlig falschen Interpretation der Sachlage! Der Umstand, dass Karten durch Verfälschung von Flächenproportionen "lügen" können, wurde schon öfters zu Propagandazwecken missbraucht. Lamberts flächentreue AzimutalprojektionAlbers flächentreue KegelprojektionEqual Earth Projection |
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Winkeltreue (Konformität)Eine konforme Projektion erhält lokale Winkel, sodass die Form
kleiner Objekte erhalten bleibt. Innerhalb einer winkeltreuen Projektion
variiert zwar der Maßstab, das Ausmaß der Distanzverzerrung
an einem beliebigen Punkt ist jedoch in alle Richtungen gleich. MercatorprojektionLamberts winkeltreue Kegelprojektion |
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RichtungstreueRichtungstreue (=zenitale) Karten ermöglichen die Richtungsbestimmung
zwischen zwei Punkten, d.h. diejenige Richtung die man anpeilen müsste,
um auf direktem Weg (Großkreissegment) von A nach B zu gelangen.
Leider bezieht sich "Richtungstreue" nicht auf das gesamte
Kartenblatt, sondern nur auf den Berührpunkt, was schon darauf
hinweist, dass es sich bei richtungstreuen Projektionen vor allem um
Azimutalprojektionen handelt. Durch den Berührpunkt verlaufende
Großkreise werden als Geraden dargestellt. Falls Íhnen
der Unterschied zwischen Richtungstreue und Winkeltreue noch nicht ganz
klar ist - hier noch mal der Verweis
auf den Exkurs
zum Problem der Himmelsrichtung. Gnomonische Azimutalprojektion |
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Vermittelnde ProjektionenWährend die meisten Projektionen darum bemüht sind eine oder mehrere geometrische Eigenschaften der Erdoberfläche zu erhalten, sind einzelne Projektionen dahingehend konzipiert, auf Kosten "genereller Untreue" alle geometrischen Verzerrungen zu minimieren. Solche "vermittelnde" Projektionen sind zwar in keiner einzigen Eigenschaft treu und daher für Messungen auf der Karte ungeeignet, sie eignen sich jedoch gut zur ästhetischen Visualisierung der gesamten Erde. Es handelt sich dabei also um einen Kompromiss, der, insgesamt gesehen, ein möglichst authentisches "Bild" der Erde liefert, auch wenn dieses Bild in allen Einzelbereichen falsch ist. Die vermittelnde Winkel Tripel Projektion. Mehr dazu finden Sie unter anderem hier . Robinson Projektion |
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Visualisierung von ProjektionseigenschaftenUm Art und Ausmaß geometrischer Verzerrungen in Kartennetzentwürfen
abschätzen zu können, entwickelte der französische Mathematiker
Nicolas Auguste Tissot im 19. Jahrhundert einen Indikator, der die Eigenschaften
einer Projektion an einem Punkt ermittelt: die Tissot-Indicatrix. In der nachfolgenden Übung können Sie die Verzerrungen je Projektion mit Hilfe von Kreisen selbst erkunden. |
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Kriterien zur Wahl einer ProjektionObwohl die Wahl einer geeigneten Projektion nun kein unüberwindbares Problem mehr darstellen sollte, hier ein paar Überlegungen, die bei der Entscheidung für eine bestimmte Projektion eine Rolle spielen: 1. Bestehende Bezugssysteme 2. Das primäre Anwendungsgebiet der Karte
3. Die Größe des abzubildenden Gebietes 4. Die Lage des abzubildenden Gebietes
5. Die Form des abzubildenden Gebietes
Die Wahl der richtigen Projektion ist stets ein Kompromiss. Es gilt die Lage und Größe des darzustellenden Raumausschnittes sowie die Anforderungen an die Karte zu kennen und entlang dieser Dimensionen informierte Entscheidungen zu treffen. Die folgende Webanwendung kann bei der Orientierung und Entscheidungsfindung hilfreich sein:
Die Anwendung von Stefan Reifenberg https://www.geo-projections.com zeigt die verschiedenen Projektionen und deren Eigenschaften |
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Anmerkungen zur Kartendarstellung im WebAußerhalb der Nautik , wird die Mercatorprojektion, beispielsweise für Lehrbücher und Atlanten, kaum mehr verwendet. Grund dafür ist vor allem die oben beschriebene extreme Flächenverzerrung in hohen Breiten. Dass die Mercatorprojektion dadurch aus der allgemeinen Wahrnehmung verschwinden würde, war eine lang gehegte Annahme (oder Wunsch, siehe Arno Peters ), die sich alles andere als erfüllte. Vielmehr wurde die Mercatorprojektion im Internet als Web-Mercator (EPSG 3857 ) gewissermaßen wiedergeboren. Treiber dieser Renaissance war Google mit der Veröffentlichung des Kartenservices Google Maps in 2005. Seither basiert die Darstellung der meisten Kartendienste im Web (z.B. Microsoft Bing Maps oder OpenStreetMap ) auf dieser, auch Pseudo-Mercator genannten, Projektion. Dass es sich um eine Pseudo-Mercatorprojektion handelt, ist dem Umstand geschuldet, dass die Koordinaten zwar, wie bei der gewöhnlichen Mercatorprojektion, auf ein standardisiertes Bezugsellipsoid (WGS 84) bezogen, aber, aus Performancegründen, auf eine Kugel projiziert werden. Dadurch kommt es, im Vergleich zu einer gewöhnlichen Mercatorprojektion, zu mitunter signifikanten Lageabweichungen, abhängig von der Entfernung vom Äquator. Bei kleinmaßstäbigen Weltkarten spielt der Unterschied keine große Rolle; sichtbar werden die Abweichungen bei großmaßstäbigen Darstellungen in hohen Breiten (beispielsweise Alaska). Durch die enorm hohe Durchdringungsrate von Anwendungen, die auf den genannten Web-Kartendiensten beruhen, ist es umso wichtiger, über die Vor- und Nachteile der Web-Mercatorprojektion informiert bzw. dafür sensibilisiert zu sein. Nicht zuletzt wegen der Kritik an dieser Projektion bietet Google Maps mit dem alternativen "Globe View" eine perspektivische Azimutalprojektion , in der die Erde erscheint, als würde man sie aus dem Weltall betrachten. |